Bachillerato:Realizando encuestas

Censo del INE:

• Es una operación estadística masiva que se realiza periódicamente para contar a todos los habitantes, viviendas y hogares en el territorio nacional.
• Aporta precisión absoluta.
• Antes del Censo de Población y Viviendas 2021, se realizaban censos decenales y se llevaba a cabo un despliegue de medios enorme para poder recopilar la información de toda la población. El Censo de Población y Viviendas de 2021 obtuvo a partir de la información de varios registros administrativos todas las características de la población que en Censos anteriores se obtenían a través de cuestionarios. Esto ha supuesto una innovación muy importante en la estadística oficial, lo que permite que el INE sea capaz de publicar censos anuales a final de cada año. Otras características de la población que no se encuentran en registros administrativos se siguen obteniendo periódicamente a través de encuestas como la Encuesta de Características Esenciales de la Población y las Viviendas.

Encuestas por muestreo:

• Se selecciona un grupo de personas representativo, la muestra. Hay varios métodos para seleccionar la muestra en función de las características de la población. Sobre esta está se realiza la encuesta para estudiar el tema de interés y posteriormente hacer estimaciones.
• Es rápido, permite obtener datos actualizados continuamente y es más barato. En general, es más viable de hacer que un censo completo.
• Al no preguntar a toda la población se asume un pequeño error, conocido como error muestral. Para que la muestra sea válida, ha de ser elegida aleatoriamente.

Se puede calcular la media muestral, la varianza y otras medidas estadísticas. ¿Cómo se pueden relacionar estas medidas con la medidas de toda la población? ¿Qué relación tiene la media de la muestra con la media de la población? Existe la posibilidad de considerarlas iguales dentro de un intervalo de confianza, es decir, en vez de dar un único valor, calculamos un margen de error hacia arriba y hacia abajo. Estudiemos qué son los intervalos de confianza y cómo calcularlos.

Población (N)

Grupo completo que se quiere estudiar.

Muestra (n)

Subgrupo de la población sobre el que se realiza el estudio. Se escoge aleatoriamente y es representativa de la población.

Media poblacional (μ)

Media real de toda la población. Dato desconocido.

Media muestral (x¿)

Media de la muestra. Dato calculable con la información de la encuesta.

Desviación típica (σ)

Mide la dispersión de los datos, es decir, si están agrupados alrededor de la media o si presentan valores muy extremos.

Teorema Central del Límite

En resumen, este principio estadístico afirma que si tomamos un número suficientemente grande de muestras de una población, la distribución de sus medias se puede ajustar a una distribución normal. Es decir, siempre que se cumplan las condiciones del teorema, los datos tienden a organizarse de forma predecible.

Distribución de la media muestral

La media de las muestras aleatorias de tamaño n sigue una distribución normal:
x¿ ∼ N(μ, σ/√n)

Distribución normal

Es un modelo estadístico que explica cómo se distribuyen un conjunto de datos continuos alrededor de un valor central (la media) de manera simétrica, acorde con una desviación típica concreta. Su representación gráfica es la campana de Gauss.

Características de la distribución normal:

• El centro es la media.
• Es simétrica.
• El área total bajo la curva es 1.

Hasta ahora podemos calcular la media muestral con los datos obtenidos de la encuesta. Si utilizamos el Teorema Central del Límite y el modelo de una distribución normal, tenemos la capacidad de estimar la media poblacional dentro de un rango concreto. Ese rango es lo que se conoce como intervalo de confianza.

El intervalo de confianza para la media poblacional se calcula mediante la siguiente expresión:

IC_1−α(μ) = ( x̄ − z_α/2 · σ/√n, x̄ + z_α/2 · σ/√n )

• x̄: La media aritmética muestral. Este parámetro es el centro del intervalo.
• z_α/2: Representa el valor de significación. Indica cuánto tenemos que alejarnos del centro de la campana para conseguir el nivel de confianza buscado. Su valor se obtiene de la tabla de la distribución normal estándar N(0,1).
• σ: Es la desviación típica de la muestra.
• n: Es el número de personas que conforman la muestra.

Encuesta de Presupuestos Familiares (EPF) y cálculo del intervalo de confianza

El INE realiza cada año la Encuesta de Presupuestos Familiares (EPF). Con ella se calculan datos tales como cuánto dinero gasta de media al año un hogar en España. ¿Aplicamos la teoría y calculamos el intervalo de confianza con los datos de los últimos años?

Este intervalo nos indica en qué rango estaría la media si escogiéramos otra muestra con el grado de confianza que le impongamos. Usaremos los datos de la Encuesta de Presupuestos Familiares (EPF) del año 2024.

¿Qué datos necesitamos?

• Media muestral: 34.044 € (gasto medio por hogar de la muestra escogida).
• Tamaño de la muestra: 24.000 hogares.
• Desviación típica: 14.500 € (dato estimado).
• Nivel de confianza: 95%.

¿Cómo encontrar el valor de z en la tabla de la distribución normal?

Cuando queremos conseguir un nivel de confianza del 95%, significa encerrar bajo el área de la curva de Gauss el 95% de los datos, pero en el centro de la campana. Eso significa que a cada lado quedará un 2,5% sin cubrir, un 5% en total.

El valor de z será el punto exacto donde termina nuestro intervalo desde el inicio de la curva, es decir, se corresponde con el punto donde se ha recogido el 97,5% del área.

Área de la curva = trozo de la izquierda + trozo del centro = 2,5% + 95% = 97,5%

Por tanto para reconstruir el valor de z, buscamos en la marea de números de la tabla el 0.975 (asociado al porcentaje que buscábamos) y miramos a qué fila y columna pertenece, ¡este valor será el valor de z! [en la tabla marca la columna 0.06 y fila 1.9]

¿Cuál es el margen de error de esta media?

El margen de error es el valor que le restamos y sumamos a la media para encontrar el intervalo:

Error = zα/2 · σ / √n

Introduciendo nuestros valores:

• z_α/2 = 1,96
• σ = 14.500
• n = 24.000

Error = 1,96 × 14.500 / √24.000 = 183,45

Intervalo de confianza

De esta forma podemos decir que la media del gasto de toda la población española durante ese año se encontrará en el siguiente intervalo, con un 95% de confianza:

I.C. = (34.044 − 183,45 ; 34.044 + 183,45) = (33.860,55 ; 34.227,45)